Causal 한 FIR 시스템은 linear한 특성을 갖는데, 이 것은 신호처리에서는 매우 매력적인 특징이다.
Noncausal LTI system의 impulse response은 아래와 같이 쓸 수 있다.
Impulse response h0[n]의 계수가 대칭일 때, H0(e^jw)는 w의 real function(실수식)이 된다.
위와 같이 대칭 함으로 , (식-1)은 아래와 같이 다시 쓸 수 있다.
이러한 noncausal system은 (식-5)처럼 K만큼 오른쪽으로 shifting하여 간단하게
causal한 시스템을 만들 수 있다.
위 식은 causal 시스템의 impluse response이다. 이러한 time shift는 (식-6)과 같이
주파수 도메인에서 곱으로 표현 할 수 있다.
H0(w)가 real function이기 때문에, 주파수 응답 H(e^jw)는 모든 w에서 선형위상 특성을 갖게 된다.
(식-5)는 아래와 같이 다시 쓸 수 있다.
위와 같은 경우에 위상 특성은 pi/2위상 이동한 것과 같다.
이처럼 대칭인 Causal한 FIR 시스템은 선형 위상 디지털 필터를 만들 때 사용되며, 반대로 비대칭인 FIR시스템 같은 경우는 선형 위상 FIR Hilbert transformer와 선형 미분기를 만들 때 사용한다.
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