Z-Transform(z변환)

1. z-transform(z변환) 사용하는 이유

  디지털 신호는 n-domain에서 발생하고 처리가 이루어진다. n-domain에서의 출력은 신호와 시스템의 Convolution 연산을 통해 계산된다. 하지만 이런 Convolution 연산은 익숙하지 않기 때문에 단순한 곱셈으로 처리 할 수 있는 -domain을 사용한다. 이 -domain을 사용할 때의 장점은 신호들 간의 물리적인 위치를 쉽게 알 수 있다는 것이다.

  하지만 디지털 필터를 설계하고 해석할 때는 -domain 보다는 z-domain을 더욱 많이 사용한다. 가장 큰 이유는 z-domain에서의 계산은 -doamin과는 다르게 복소 지수함수를 직접 사용하지 않아 계산이 쉽기 때문이다. 또 한, 극점과 영점을 쉽게 구할 수 있어 시스템의 안정도를 판별하기도 쉽다.

2. z-domain과 -domain의 관계

  z도 복소 지수함수이기 때문에 그림과 같이, 복소평면에 표현 할 수 있다. 이 그림을 통해 -domain과 z-doamain의 관계를 직관적으로 쉽게 알 수 있다. 이산신호의 주파수 은 z-domain에서 각이라는 것을 알 수 있다. 또 한, 는 2 를 주기로 반복 된다.
 

3. FIR(Finite Impulse Response) 필터의 Z 변환

FIR 필터의 일반적인 차분 방정식은 다음과 같다.

------ (1)식

n-영역에서 출력 y[n]은 x[n]*h[n]처럼 Convolution 연산을 이용해 구한다. 여기서 h[n]은 FIR필터의 Impluse Response이다. 즉,

(1) 식에, 을 대입해 보자.

괄호 안의 항이 FIR 필터 계수의 영향을 받는 다항식이다. 이것을 시스템 함수라 부르며, 디지털 필터의 특성을 알려주는 중요한 함수이다.

이러한 결과로, 임펄스 응답을 z-변환 하게 되면 시스템 함수 H(z)가 된다.
 

실제 FIR시스템을 가지고 Z변환을 알아보도록 하자.
 

이러한 차분방정식 출력이 있다고 가정했을 때,

출력을 z변환 하면, 이다.

근을 구하니 위와 같이 3개의 영점이 존재하고, 극점도 원점에 3개 존재 한다는 것을 알았다.

임펄스 응답은 위와 같고, z변환을 통해 구한 영점과 극점을 z-domain에 표시해 보았다. z-domain에서 각은 가 되므로, 아래 그림처럼 0일 때와 인 영역의 주파수대의 신호를 없애는 필터가 만들어진다는 것을 알 수 있다.

4. IIR(Infinite Impulse Response) 필터의 Z 변환

  IIR필터는 현재의 출력을 계산하는데 입력신호 뿐만 아니라, 이미 출력된 신호가 다시 이용이 된다. 다음은 IIR필터에 대한 차분 방정식이다.

FIR시스템은 유한한 개수의 입력에 유한한 개수의 출력이 나오므로 항상 안정하지만, IIR시스템은 출력이 다시 입력으로 들어와서 시스템이 발산해버리는 경우가 있을 수 있다. 안정하지 않은 시스템에 대한 해석은 의미가 없다. 결론적으로 극점의 절대값이 단위원 보다 크면 시스템은 불안정하다.

IIR필터도 FIR과 같이 간단한 예를 통해 Z-변환을 사용할 수 있는지를 알아보겠다.

z-Transform,

시스템 함수 H(z),

블록다이어그램,

극점과 영점을 계산,

극점 :

영점 : 0 , 0.45
 

극점이 단위원 안에 존재 하므로, 이 IIR시스템은 안정한 시스템이다. 또 한, n-domain의 Impulse Response가 수렴하는 것으로도 안정하다는 것을 알 수 있다.
 

Matlab을 이용해 IIR필터의 주파수 특성을 보았다. 주파수 응답곡선을 통해 z-domain의 영점에 해당하는 주파수의 신호는 저지하고 극점 부분의 해당하는 주파수의 신호는 통과시키는 BPF의 특성을 갖는다는 것을 알 수 있다.